CTはというと，既に完成された技術のように思いますが，「投影回数を少なくしたい」かつ，「様々な方向から投影できない」という場合にも対応できるように，より精密に断面を再構成する技術が求められています。

CTとは

CTとは，Computed Tomography の頭文字をとったもので，コンピュータ断層撮像法と訳されます。 CT検査とは，X線をつかって身体の断面を撮影する検査です。X線を照射し，断面を通過したデータを集め，画像処理を行うことで，断面を再構成します。

CTの応用分野は非常に広く，医療系であれば「カテーテルX線血管造影法」，「CTアンジオグラフィ」，「三次元欠陥撮影」（参考文献[1]），工業系であれば「非破壊検査」，「CAE」，「デジタルエンジニアリング」などがあります。

CTの原理

それではCTの原理について説明していきます。 CTは，X線を目的の物体に照射し，それの減衰を見ることによって，物体の形状を再構成する手法です． 投影する領域全体での減衰率f(x,y)f(x,y)を復元します． 図の角度θθからΩΩへ投影し，それにより得られる積分量は以下のように記述されます。

様々な角度θθからの投影により，f(x,y)f(x,y)を完全に求めることが目的です． このp(r,θ)p(r,θ)が観測量です。 関数p(r,θ)p(r,θ)をf(x,y)f(x,y)のラドン変換と呼びます。このδ(r)δ(r)というのはディラックのデルタ関数と呼ばれる関数であり，可積分な関数f(x)f(x) に対して

となるようなものです． δδの中身が00になるところだけ出現すると考えてもらってよいです。上での積分は，デルタ関数の定義から，物体をθθ方向から投影した総和が得られることがわかります。

Radon 変換のプログラム

以下，少しだけmatlab のコードを載せたいと思います。ラドン変換などの原理の理解の一助となれば幸いです。

まず，サンプルデータをロードします。

P = phantom(256);
imshow(P)
load_phantom.mat

次にラドン変換をします。

theta = 0:10:170; %% 投影する角度の設定
[R,xp] = radon(P,theta);
radon.mat

figure, imagesc(theta,xp,R);
colormap(hot);
colorbar
xlabel('\theta');
ylabel('x\prime');
plot.mat

様々な方向からの投影が得られたと思います。

再構成方法

さて，Radon変換によって投影が得られました． では，投影からどうやって元の画像を復元するのでしょうか？

主に以下のような手法があります．

・投影切断面定理を用いる方法

・スパースモデリング

スパースモデリングは近年急速に流行っている手法なので，聞いたことがあるかもしれません。これらに関しては次の記事で説明していこうと思います。

【参考文献】
[1] X線CTとその応用
http://www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/mei_lecture/image_medicine/handout2007/naitoCT2007-2.pdf
[2]独立行政法人　国立病院機構　埼玉病院
http://saitama-hospital.jp/service/cardiovascular_province.html
[3] Matlab 逆ラドン変換
https://jp.mathworks.com/help/images/the-inverse-radon-transformation.html